Einführung in die
Spieltheorie
Einführung in die
Spieltheorie
Das Ziel der Spieltheorie ist, aus einem Interessenskonflikt heraus, optimale Entscheidungen aufzuzeigen, die zu einem befriedigendem Ergebnis führen.
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Grundbegriffe: |
Zug
Ereignis, durch das sich das Spiel von einem Stadium ins nächste bewegt. Die Züge werden von den Spielern entweder in einer festgelegten Form abwechselnd oder simultan durchgeführt und werden entweder persönlich ausgewählt oder durch Zufall festgelegt (z.B. beim Würfelspiel).
Gewinn
Bei manchen Spielen besteht der Gewinn aus einer Punktzahl, oder aus einem bestimmten Geldbetrag (z.B. Poker, Roulette), bei anderen Spielen gibt es nur einen Gewinner und/oder einen Verlierer (z.B. Schach).
Extensive und Normalform
Die Normalform wird auch als strategische Form bezeichnet. Sie wird in der Matrixform dargestellt. Die extensive Form wird dagegen als dynamische Form bezeichnet und mit einem Spielbaum verdeutlicht. Man kann sie auch als sequentielle Form bezeichnen. Sie besitzt eine dynamische bzw. sequentielle Form, bei der die zeitliche Abfolge der Züge eine entscheidende Rolle spielt, sowie die Information, die jeder Spieler zu diesem Zeitpunkt hat.
Vollständige Information
Vollständige Information bedeutet, dass alle Züge der beteiligten Spieler bekannt sind (z.B. Dame, Schach). Bei manchen anderen Spielen hat man nur eine Teilinformation zur Verfügung (z.B. Poker, Bridge).
Strategie
Eine Strategie besteht aus einer Liste von optimalen Entscheidungen eines jeden Spielers in jedem Stadium des Spieles. Eine Strategie sollte nicht nur alle möglichen Züge berücksichtigen, sondern auch mögliche Ereignisse im Spiel.
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Arten von Spielen: |
Spiele für eine Person
Solitair ist zum Beispiel ein Spiel für eine Person, bei dem nur die zufällige Verteilung der Karten entscheidend ist. Es gibt hier keinen wirklichen Interessenkonflikt, trotzdem können diese Spiele aber auch durchaus interessant und kompliziert sein. Für eine Anwendung der Spieltheorie lohnen sie sich aber nicht, da kein Gegner unabhängige strategische Entscheidungen treffen kann, auf die der andere reagieren muss.
Spiele für zwei Personen
Zu dieser sehr großen Klasse zählen nicht nur Spiele wie zum Beispiel Schach, Dame oder das Nimm-Spiel, sondern auch Spiele, bei denen zwei Gruppen gegeneinander spielen. In den meisten Spielen für zwei Personen sind die Entscheidungen und erwarteten Gewinne am Ende des Spieles im allgemeinen bekannt; sind jedoch mehr als zwei Spieler beteiligt, gibt es viele interessante, aber verkomplizierende Gelegenheiten zu Bündnissen und Zusammenarbeit.
Nullsummenspiele
Bei einem Nullsummenspiel ist die Gesamtsumme der Gewinne, also der Erwartungswert, am Ende gleich Null. 1944 zeigten von Neumann und Oskar Morgenstern , dass ein beliebiges Nullsummenspiel für n Personen auf ein solches für n+1 Personen zurückgeführt werden kann. Solche Spiele für n+1 Personen können wiederum aus dem Spezialfall eines Nullsummenspieles für zwei Personen verallgemeinert werden.Daher stellen Nullsummenspiele für zwei Personen einen wichtigen Bestandteil der mathematischen Spieltheorie dar. Einer der wichtigsten Sätze Sätze in diesem Gebiet besagt, dass die verschiedenen Aspekte der Minimal-Maximal-Strategie für alle Nullsummenspiele für zwei Personen gelten. Dieser Satz ist unter der Bezeichnung Minimaxtheorem bekannt.
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Von Neumann und Morgenstern zeigten den direkten Nutzen der mathematischen Spieltheorie auf, indem sie sie mit wirtschaftlichem Verhalten in Beziehung setzten. Man kann Modelle für Märkte verschiedener Waren mit verschiedenen Käufer- und Verkäuferzahlen, schwankenden Werten von Angebot und Nachfrage, jahreszeitlichen und zyklischen Schwankungen sowie bedeuteten Unterschieden in den betreffenden Wirtschaftszweigen entwickeln. Hier spielt die Spieltheorie in der Analyse von Interessenskonflikten bei der Gewinnmaximierung und der Förderung der weitesten Verbreitung von Gütern und Diensten eine besonders wichtige Rolle. Die gerechte Verteilung von Eigentum und Erbschaften ist ein weiterer Bereich aus dem rechtlichen und wirtschaftlichen Zusammenhang, der mit den Mitteln der Spieltheorie untersucht werden kann.
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Gefangenendilemma |
Vollständige formale Darstellung:
- Menge der Spieler
- Menge der Ereignisse (E)
- Strategieraum (S); Menge aller möglichen Kombinationen aus Strategien
- Beschreibung der Spielregel
Außerdem gibt es noch eine Nutzenfunktion (oder Auszahlungsfunktion), die den Nutzen für den Spieler angibt, wenn die Strategiekombination s gespielt wird.
Situation:
Es wurden zwei Leute verhaftet, die wegen eines schwerwiegenden Deliktes angeklagt werden sollen. Sie haben keine Gelegenheit, sich gegenseitig abzusprechen. Wenn keiner gesteht, können sie wegen Mangel an Beweisen nur wegen eines geringeren Deliktes angeklagt werden, wenn beide gestehen, wird ihnen ein Teil der langen Haftstrafe erlassen werden. Wenn allerdings nur einer der beiden gesteht, wird dieser bald freigelassen werden, der andere dagegen wird die Höchststrafe bekommen.
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Spielform
Nun stellt sich die Frage, wie sie sich entscheiden sollen und was für sie am besten ist.
Beide Gefangenen werden sich entscheiden, zu gestehen, da wenn einer nicht gesteht, aber der andere, dieser eine die Höchststrafe bekommt. Zu Gestehen ist also die dominante Strategie.
Mit diesen Vorgaben lässt sich eine sogenannte Ereignismatrix erstellen:
Spieler 2 Spieler 1
Nicht gestehen s21
Gestehen s22
Nicht gestehen s11
1 Jahr für Sp1 1 Jahr für Sp2
10 Jahre für Sp1 3 Monate für Sp2
Gestehen s12
3 Monate für Sp1 10 Jahre für Sp2
8 Jahre für Sp1 8 Jahre für Sp2
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Das Spiel
Aus dieser Tabelle lässt sich dann die Tabelle für die Auszahlungsmatrix erstellen. Dabei wird für jede Strategiekombination der Spieler entsprechend der Nutzenfunktion ein Nutzenindex zugeordnet. Desto größer der Nutzen ist, desto eine größere Zahl wird verwendet.
Spieler 2 Spieler 1
s21 s22 s11 (3,3) (1,4)
s12 (4,1) (2,2)
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Wenn man diese Punkte, die sich so ergeben, in ein Diagramm einträgt, erhält man den Auszahlungsraum des Gefangenendilemmas.
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Quellen: Encarta; Einführung in die Spieltheorie, Holler, Springer Verlag
