Klassenarbeit

Wachstum

1. Die Schaubilder zeigen skizzenhaft verschiedene Wachstumsarten.
Welche Art von Wachstum liegt jeweils vor ?
Gib jeweils die allgemeine Gleichung an für die Zustandsänderung; erkläre die Parameter.

a) . . .b). . .c)

2. Auf einem Nährboden der Größe 1000 cm^2 breitet sich Pilzbewuchs aus. Anfangs sind 8 cm^2 bewachsen. Ein Pharmazeut beobachtet die tägliche Zunahme und notiert in einer Tabelle :

a) Welche Art von Wachstum liegt vermutlich vor ? Begründe !

b) Bestimme für das in a) beschriebene Wachstum die Gleichung der Zustandsfunktion aus den Tabellendaten.
Auf welche Fläche wächst demnach der Pilzbewuchs in 10 Tagen an ?
Wie groß ist der Wachstumsfaktor für einen halben Tag?
Nach wieviel Tagen wäre der gesamte Nährboden bewachsen, wenn sich das Wachstum in der gleichen Weise fortsetzen würde ?
Diskutiere, ob die Ergebnisse realistisch sind.

c) Das Pilzwachstum soll nun logistisch beschrieben werden. Der Proportionalitätsfaktor bei der Zustandsänderung sei k=0,5. Erkläre die Wahl von k. (siehe Bemerkung am Ende)
Es sollen bereits 300 cm2 des Nährbodens mit Pilzen bewachsen sein. Berechne daraus den Bewuchs für die folgenden 4 Tage; stelle die Ergebnisse in einer Tabelle und in einem Liniendiagramm dar.

3. Eine Zustandsgröße y_n wächst begrenzt; Parameter sind die Grenze g = 1000 und der Proportionalitätsfaktor k = 0,3. Die Zustandsgröße "Rest" r_n = g - y_n wächst dann exponentiell. Gib die Gleichung für die Zustandsänderung von r_n an.
Tip: Du kannst ein paar Schritte weit (z.B. ab y0 = 100) die Werte für r_n ausrechnen und dann versuchen, daraus die Gleichung für die Änderung von r_n zu bestimmen. Du kannst die Aufgabe aber auch allgemein lösen.

Bemerkung : Bei der Behandlung des logistischen Wachstums lag folgende Gleichung zu Grunde :
Zustandsänderung Dy_n = k y_n (g - y_n) / g ... mit y_n+1 = y_n + Dy_n
mit Proportionalitätsfaktor k und Grenze g.

(Details siehe. Mathematik am Gymnasium Klasse 10, Verlag Diesterweg, 1995, Seite 81 ff.)