Logistisches Wachstum

Aufgaben

1. Möchte man die Verbreitung eines Gerüchtes simulieren, dann kann man ein logistisches Modell annehmen. Als Zustandsgröße nehme man die Anzahl derer, die das Gerücht kennen. Startwert sei 1, Gesamtzahl der Personen 500. Der konstante Faktor bezogen auf einen Tag sei k.

a) Begründe die Wahl des logistischen Modells.

b) Berechne die Anzahl der ,,Wissenden" und die Zustandsänderung innerhalb der ersten 5 Tage für k=0,5.

c) Lies aus dem Diagramm ab

- die Anzahl der Wissenden nach 7, 14, 21 Tagen

- nach wieviel Tagen 50, 250, 400 Personen das Gerücht kennen.

- wann die Zunahme der Wissenden am größten ist.

d) Beobachtungen haben ergeben, daß innerhalb von 10 Tagen schon mehr als die Hälfte der Bevölkerung das Gerücht kennt. Bestimme hierzu den Faktor k bis auf zwei Nachkommastellen.

2. Die Ansteckungsrate bei einer Grippeinfektion ist um so größer, je mehr Menschen an der Grippe erkrankt sind, aber auch je mehr es noch ansteckbare Gesunde gibt. Man kann deshalb die Entwicklung einer Grippeinfektion versuchsweise mit einem logistischen Wachstum simulieren. Man starte die Simulation mit 50 Kranken. Es können maximal 1000 Personen erkranken. Der konstante Faktor k sei 0,3 bezogen auf einen Tag.

a) Man berechne die Anzahl der Kranken jeweils für die ersten 5 Tage.

b) Mit Hilfe eines Computers zeichne man bis nahe an die Sättigungsgrenze die Schaubilder für die Anzahl der Erkrankten, der noch Gesunden und der Zustandsänderung.

Was ist an dem Modell erfreulicherweise unrealistisch?

3. In einem See befinden sich zu Beginn eines Jahres 700 Fische. Die Zahl wächst bei guter Pflege jedes Jahr um 30%. Auf längere Zeit können aber maximal 5000 Fische in dem See leben. Für die Entwicklung des Fischbestandes nimmt man ein logistisches Wachstum an.

a) Zeichne ein Wirkungsdiagramm.

b) Berechne den Bestand der Fische innerhalb der ersten 5 Jahre.

c) Es sollen nun jedes Jahr 150 Fische gefangen werden. Berechne den Bestand der Fische für die ersten drei Jahre. Untersuche mit einem Computer gegen welche Kapazitätsgrenze sich der Fischbestand wohl entwickeln wird.

d) Wiederhole Teilaufgabe c) für den Fall, daß jährlich 200 Fische gefangen werden.

e) Untersuche mit einem Computerprogramm, wie viele Fische jährlich gefangen werden dürfen,
- ohne daß der Bestand abnimmt

- wenn frühestens in 20 Jahren keine Fische mehr in dem See sein müssen.

f) Wiederhole Aufgabe e) für den Fall, daß man die ersten fünf Jahre keinen Fisch fängt.