Begründe, warum MNO UTS ist !
Lösung:
1.Lösungsmöglichkeit:
Das Dreieck MNO ist deckungsgleich mit RQP und RQP ist deckungsgleich mit UTS und UTS ist deckungsgleich mit MNO. Daraus folgt, daß MNO und UTS kongruente Dreiecke sind.
2.Lösungsmöglichkeit:
Voraussetzung: MNO RQP
RQP UTS
Behauptung: MNO UTS
Aussage: Begündung:
1.) MNO RQP und
RQP UTS laut Voraussetzung
2.) [M,R] = [R,Q] [R,Q] = [U,T] zwei Dreiecke sind kongruent, wenn die
[N,O] = [Q,P] [Q,P] = [T,S] entsprechenden Seiten und
[M,O] = [R,P] [R,P] = [U,S] Winkel gleich sind
M = R R = U
N = Q Q = T
O = P P = S
3.) [M,N] = [U,T] M = U
[N,O] = [T,S] N = T gilt wegen der Transitivität
[M,O] = [U,S] O = S
4.) MNO UTS da die Seiten und Winkel der beiden Dreiecke gleich sind, sind die Dreiecke kongruent
Bemerkung: Man könnte auch mit den Seiten allein arbeiten und den SSS - Satz anwenden.
Lösung:
1.) ADC BCD
2.) ADB BCA
3.) DCE ABE
Begründung zu 1.: Die zwei Dreiecke sind deckungsgleich, oder mit dem SWS - Satz.
Begründung zu 2.: Die zwei Dreiecke sind deckungsgleich, oder mit dem SWS - Satz.
Begründung zu 3.: Man führt zwei Hilfswinkel CDE und DCE ein, die sind genau so groß wie EAB und EBA. Weiters kann man der Figur entnehmen, daß die Winkel AEB und DEC Scheitelwinkel sind und daher gleich groß sind. D.h. die beiden Dreiecke DCE und ABE sind aufgrund des WWW - Satzes ähnlich.
3.: In der folgenden Figur ist = und die Gerade AB ist die Winkelsymmetrale des Winkels CAD.
Begründe, daß ABC ABD ist.
Lösung:
Voraussetzungen: = , AB ist die Winkelsymmterale des Winkels CAD
Behauptung: ABC ABD
Beweis:
Aussage: Begründung:
1.) = laut Voraussetzung
2.) Die Gerade AB ist die Winkelsymmetrale laut Voraussetzung
des Winkels CAD
4.) CAB = BAD Die Winkelsymmetrale teilt
den Winkel CAD in zwei
gleich große Winkel
5.) Die beiden Dreiecke stimmen folgt aus 1.) und aus
in zwei Seitenlängen überein der Figur entnimmt man,
daß zu beiden Dreiecken
die Seite AB gehört
6.) ABC ABD folgt aus 4.) und 5.)
mit Hilfe des SWS - Satzes
4.: In der folgenden Figur sind und Scheitelwinkel, G ist der Mittelpunkt der Strecke [H,F] und .
Der folgende Beweis zeigt, daß = ist. Fülle die Beweislücken!
Voraussetzungen: und sind Scheitelwinkel
G ist der MP der Strecke [H,F]
Behauptung: =
Beweis:
Aussage: Begründung:
1.) da Scheitelwinkel gleich groß sind
2.) =
3.)
4.) die beiden Dreiecke haben zwei gleich große Winkel und eine gleich lange Seite,
daher folgt aus dem WSW - Satz,
daß die beiden Dreiecke kongruent sind.
5.) aus 4.) folgt, daß die beiden Dreiecke
deckungsgleich sind und
deshalb gilt die Behauptung.
Lösung:
Beweis:
Aussage: Begründung:
1.) da Scheitelwinkel gleich groß sind
2.) = der Mittelpunkt G teilt laut Voraussetzung die Strecke [H,F] in zwei gleich lange Strecken
3.) laut Voraussetzung
4.) GHI GFE die beiden Dreiecke haben zwei gleich große Winkel und eine gleich lange Seite,
daher folgt aus dem WSW - Satz,
daß die beiden Dreiecke kongruent sind.
5.) = folgt aus 4.)
Lösung:
Aus der Figur entnimmt man, daß die Dreiecke AUT und AUB die Seite AV gemeinsam haben. Die beiden Dreiecke haben somit drei gleich lange Seiten und sind kongruent. Daraus folgt, daß auch die Winkel gleich groß sind, also insbesondere gilt, daß ATU = ABU ist.
Voraussetzung: und =
Behauptung: TI ist die Winkelsymmetrale des Winkels FTA
Beweis:
Aussage: Begründung:
1.)
2.) ' =
' =
3.) ' = '
4.) =
5.) Die beiden Dreiecke FIT und AIT
haben zwei gleich lange Seiten und
der eingeschlossene Winkel ist
gleich groß.
6.) FIT AIT
7.)
8.) Die Gerade TI ist die Winkelsymmetrale
des Winkels FTA
Lösung:
Aussage: Begründung:
1.) laut Vorausetzung
2.) ' = aus der Figur kann man entnehmen, daß
' = und ', sowie und '
Supplementärwinkel sind
3.) ' = ' folgt aus 1.) und 2.)
4.) = laut Vorausetzung
5.) Die beiden Dreiecke FIT und AIT das erste entnimmt man der Figur
haben die Seite TI gemeinsam und und =
stimmen in einer weiteren
Seitenlänge überein
6.) FIT AIT folgt aus 5.), wenn man den
SWS - Satz anwendet
7.) da die beiden Dreiecke kongruent sind,
müssen auch die Winkel
gleich groß sein
8.) Die Gerade TI ist die Winkelsymmetrale da die Gerade TI den Winkel FTA
des Winkels FTA in zwei gleich große Winkel teilt
Vorausetzung: und =
Behauptung: =
Beweis:
Aussage: Begründung:
1.)
2.) laut Voraussetzung
3.) Die beiden Dreiecke DTS und ATU
haben denselben Winkel
4.) folgt aus 1.) 2.) und 3.) wenn man den
WSW - Satz anwendet
5.) =
6.) + =
+ =
7.) folgt durch Umformung von 6.)
8.) = -
9.) =
Lösung:
Aussage: Begründung:
1.) laut Voraussetzung
2.) = laut Voraussetzung
3.) Die beiden Dreiecke DTS und ATU siehe Figur
haben denselben Winkel
4.) DTS ATU folgt aus 1.) 2.) und 3.) wenn man den
WSW - Satz anwendet
5.) = folgt aus 4.)
6.) + = siehe Figur
+ =
7.) = - folgt durch Umformung von 6.)
= -
8.) = - wegen 2.) kann man durch ersetzen wegen 5.) kann man durch ersetzen
9.) = folgt aus 7.) und 8.)
Begründe, daß = ist !
Lösung:
[A,D] [U,D] laut Vorausetzung, daraus folgt ADU =
[A,D] [D,I] laut Vorausetzung, daraus folgt ADI =
Weiters gilt und aus der Figur kann man entnehmen, daß die beiden Dreiecke ADU und ADI eine Seite - nämlich AD - gemeinsam haben. Daraus folgt mit Hilfe des WSW - Satzes, daß die beiden Dreiecke kongruent sind.
Weiters folgt, daß auch die Winkel bei I und U gleich groß sein müssen. Also sind die beiden Dreiecke kongruent und somit sind auch alle drei Seiten gleich lang. Insbesondere gilt = .
Gegeben: = , und .
Lösungversuche:
1.Behauptung: DEF CBF. Diese Behauptung kann mit den gegebenen Voraussetzungen nicht begründet werden.
2.Behauptung: DEB CBE. Auch diese Behauptung kann mit den gegebenen Voraussetzungen nicht begründet werden.
3.Behauptung: ADB EDC.
Begründung:
Laut Voraussetzung ist . Aus der Figur kann man entnehmen, daß
der Winkel ADB = und der Winkel EDC = ist. Da laut Voraussetzung ist, kann man durch ersetzen und erhält, ADB = = EDC . Weiters gilt laut Voraussetzung, daß = und ist. Also haben die beiden Dreiecke ADB und EDC zwei gleich große Winkel und eine gleich lange Seite und daraus folgt mit Hilfe des WSW - Satzes, daß die beiden Dreiecke kongruent sind.
Begründe, daß TUL PIL ist !
Lösung:
LT ist die Winkelsymmetrale des Winkels ULP. Daraus folgt:
ULP = ULT + TLP, wobei TLP = ULP und ULT = ULP
LP ist die Winkelsymmetrale des Winkels TLI. Daraus folgt:
TLI = TLP + PLI, wobei TLP = TLI = ULP = ULT
Daraus folgt, daß die drei Dreiecke TUL, TLP und PIL jeweils einen gleich großen Winkel haben.
Weiters gilt laut Voraussetzung, daß ist. Daraus folgt, daß das Dreieck TLP ein gleichschenkeliges Dreieck ist. Es gilt also: =
Laut Voraussetzung ist = .
D.h. die beiden Dreiecke TUL und PIL haben zwei gleich lange Seiten und einen gleich großen Winkel. Daraus folgt mit Hilfe des SWS - Satzes, daß die beiden Dreiecke kongruent sind.